Sergio Abrilが、tvOS用ネットワークアタッチトストレージコンテンツ再生アプリ「Video Explorer for Apple TV」をリリースしています。（App Storeの検索から探して下さい）

Time Capsuleや、ネットワークアタッチトストレージ内にある写真や動画を再生出来るiOSアプリ「Video Explorer」のtvOS版です。

アプリを起動すると、ローカルネットワーク内にあるTime CapsuleやAirMac Extremeに接続されたHDなどへ簡単にアクセスして、写真や動画を表示および再生することが可能です。

tvOSのメディア再生環境やメモリ使用量に依存するため、解像度が高い写真や動画の場合だと上手く再生されないようですが、iPhoneで再生出来るものであれば、Apple TV (4th generation)上でも、大抵再生出来る感じです。